Fonctions sinus et cosinus : parité, périodicité, courbes

À propos de cette leçon

Terminale, spécialité › Fonctions sinus et cosinus

Pour obtenir un PDF, choisis « Enregistrer au format PDF » dans la fenêtre d'impression.

Fonctions sinus et cosinus : parité, périodicité, courbes

Découvrir

Sur le cercle trigonométrique, les points associés à xx et à −x-x sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Que peut-on dire de cos⁡(−x)\cos(-x) ?

  1. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x
  2. cos⁡(−x)=−cos⁡x\cos(-x) = -\cos x

L'idée clé

Le cercle trigonométrique donne les symétries des deux courbes.

Périodicité : sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x et cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x. Les fonctions sont 2π2\pi-périodiques.

Parité : cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x : cosinus est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x : sinus est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Exemple corrigé

Calcule sin⁡(13π6)\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right).

13π6=π6+2π\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi
13π/6 = π/6 + 2π.
sin⁡(13π6)=sin⁡π6\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}
Le sinus est 2π-périodique.
sin⁡(13π6)=12\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}
Valeur remarquable.

À toi, guidé

À toi : on sait que sin⁡π2=1\sin\dfrac{\pi}{2} = 1. Que vaut sin⁡(−π2)\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) ?

−1-1
Le sinus est impair.

Entraînement ★

  1. On sait que sin⁡a=0,9\sin a = 0{,}9. Que vaut sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a) ?
  2. On sait que sin⁡a=0,4\sin a = 0{,}4. Que vaut sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a) ?
  3. On sait que sin⁡a=0,8\sin a = 0{,}8. Que vaut sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a) ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. La fonction f(x)=3cos⁡xf(x) = 3\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre
  2. La fonction f(x)=6cos⁡xf(x) = 6\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre
  3. La fonction f(x)=8cos⁡xf(x) = 8\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre
  1. On sait que cos⁡x=0,1\cos x = 0{,}1. Que vaut cos⁡(x+2π)\cos(x + 2\pi) ?
  1. On sait que cos⁡a=0,2\cos a = 0{,}2. Que vaut cos⁡(−a)\cos(-a) ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La fonction f(x)=3cos⁡xf(x) = 3\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre
  2. La fonction f(x)=6cos⁡xf(x) = 6\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre
  3. La fonction f(x)=8cos⁡xf(x) = 8\cos x est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
    1. Paire
    2. Impaire
    3. Ni l'une ni l'autre

Fiche résumé

Sinus et cosinus

  • 2π2\pi-périodiques.
  • Cosinus paire, sinus impaire.
  • Valeurs entre −1-1 et 11.

Attention : « paire » concerne −x-x, « périodique » concerne x+2πx + 2\pi.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Dérivées de sinus et cosinus Retour au chapitre

Corrigé: Fonctions sinus et cosinus : parité, périodicité, courbes

A

  1. 00
  2. 00
  3. 00

B

  1. Paire
  2. Paire
  3. Paire

C

  1. 110\frac{1}{10}

D

  1. 15\frac{1}{5}

E

  1. Paire
  2. Paire
  3. Paire

CC BY-SA 4.0