Fiche de révision

Continuité en $a$

1. $f(a)$ existe.
2. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe.
3. Elles sont égales.

Attention : que la limite existe ne suffit pas, $f(a)$ doit lui être égale.

Dérivabilité et continuité

• Dérivable $\Rightarrow$ continue ; la réciproque est fausse.
• Pas de nombre dérivé : point anguleux, tangente verticale, coupure.

Attention : une courbe sans coupure peut ne pas avoir de tangente.

Théorème des valeurs intermédiaires

1. Vérifier que $f$ est continue sur $[a ; b]$.
2. Comparer $f(a)$ et $f(b)$ à $k$ (souvent 0).
3. Conclure à l'existence d'une solution ; à son unicité si $f$ est strictement monotone.

Attention : sans continuité, pas de conclusion.

Suites $u_{n+1} = f(u_n)$

• Si elle converge et si $f$ est continue : $\ell = f(\ell)$.
• On résout, puis on choisit la solution compatible avec la suite.

Attention : il faut d'abord savoir que la suite converge.