Fiche de révision

Logarithme népérien

• $\ln$ est défini sur $]0 ; +\infty[$.
• $\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a$ (avec $a > 0$).
• $\ln 1 = 0$ et $\ln \mathrm{e} = 1$.

Attention : $\ln$ d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

Propriétés de ln ($a, b > 0$)

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
• $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$.
• $\ln(a^n) = n\ln a$.

Attention : il n'y a pas de formule pour $\ln(a + b)$.

Résoudre $\mathrm{e}^{kx} = a$ (avec $a > 0$)

1. On compose par $\ln$ : $kx = \ln a$.
2. On divise par $k$ : $x = \dfrac{\ln a}{k}$.

Attention : $\mathrm{e}$ n'est pas un facteur. On ne divise jamais par $\mathrm{e}$.

Équations et inéquations

1. Écrire la condition d'existence.
2. Résoudre en utilisant la croissance de $\ln$ ou de $\exp$.
3. Garder les solutions qui respectent la condition.

Attention : une solution de l'équation transformée n'est pas toujours une solution de départ.

Fonction ln

• $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
• Strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.
• Limites : $-\infty$ en 0, $+\infty$ en $+\infty$.

Attention : $\ln$ tend vers $+\infty$ très lentement, mais il y tend.

Croissance comparée

• $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ en $+\infty$.
• $x^n\ln x \to 0$ en 0.

Attention : en cas de forme indéterminée, c'est la puissance de $x$ qui gagne sur $\ln x$.