Fiche de révision

Primitives

• $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ ; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$ ; $\cos \to \sin$ ; $\sin \to -\cos$.
• Une valeur donnée permet de trouver $C$.

Attention : vérifie toujours en dérivant.

Formes composées

• $u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$.
• S'il manque un facteur constant, on l'ajuste.

Attention : un facteur $x$ ne s'ajuste pas ; seul un facteur constant le peut.

Équations différentielles

• Vérifier une solution : dériver, remplacer, comparer.
• Solution constante : on résout $y' = 0$.

Attention : une solution constante vérifie $y' = 0$, pas $y = 0$.

$y' = ay$

• Solutions : $C\mathrm{e}^{ax}$.
• La condition initiale donne $C$.

Attention : $C$ multiplie l'exponentielle, il ne s'y ajoute pas.

$y' = ay + b$

1. Solution constante : $-\dfrac{b}{a}$.
2. Solutions : $C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$.
3. Une condition initiale donne $C$.

Attention : pour trouver $C$, utilise la solution complète, avec la constante.

$y' = ay + f$

Solutions : $C\mathrm{e}^{ax} + y_p(x)$, avec $y_p$ une solution particulière donnée.

Attention : la constante $C$ se calcule sur la solution complète.