Fiche de révision

Récurrence

• Initialisation : $P_{n_0}$ est vraie.
• Hérédité : si $P_n$ est vraie, alors $P_{n+1}$ est vraie.

Attention : sans initialisation, il n'y a pas de démonstration, même si l'hérédité marche.

Limite d'une suite

• Convergente : les termes se rapprochent d'un réel $\ell$.
• Limite $+\infty$ : les termes dépassent tout nombre $A$, et restent au-dessus.

Attention : croissante ne veut pas dire « tend vers $+\infty$ ».

Opérations sur les limites

• On combine les limites, sauf les formes indéterminées.
• Formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$.
• Méthode : factoriser le terme prépondérant.

Attention : $\infty$ n'est pas un nombre, on ne « simplifie » pas.

Encadrer pour conclure

• Gendarmes : $v_n \leq u_n \leq w_n$, avec $v_n$ et $w_n$ de même limite $\ell$.
• Comparaison : $u_n \geq v_n$ et $v_n \to +\infty$ donnent $u_n \to +\infty$.

Attention : les deux bornes doivent avoir la même limite.

Limite de $q^n$

• $q > 1$ : $+\infty$.
• $-1 < q < 1$ : $0$.
• $q \leq -1$ : pas de limite.

Attention : pour un $q$ négatif, regarde le signe alterné.

Suites monotones

• Croissante et majorée, ou décroissante et minorée : elle converge.
• Pour $u_{n+1} = f(u_n)$ : la limite vérifie $\ell = f(\ell)$ quand $f$ est continue.

Attention : un majorant n'est pas forcément la limite.