Lernzettel

Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen

• Senkrecht: Nullstellen des Nenners.
• Waagrecht: Grade vergleichen. Zählergrad kleiner: $y = 0$. Gleich: Quotient der Leitkoeffizienten. Größer: keine.

Achtung: die Leitkoeffizienten verwenden, nicht die Konstanten.

Nullstellen und Lücken

1. Gemeinsame Faktoren kürzen: Jeder hinterlässt ein Loch.
2. Höhe des Lochs: der gekürzte Term an diesem $x$.
3. Nullstellen: verbleibende Nullstellen des Zählers; y-Achsenabschnitt: $f(0)$.

Achtung: Nullstellen des Nenners ergeben Asymptoten, keine Nullstellen.

Unendliche Grenzwerte

• Nenner → 0, Zähler nicht 0: $\pm\infty$, senkrechte Asymptote.
• Für das Vorzeichen einen Wert knapp neben $a$ einsetzen.

Achtung: Links und rechts der Asymptote können die Vorzeichen verschieden sein.

Schräge Asymptoten

• Zählergrad = Nennergrad + 1.
• Polynomdivision: $f(x) = mx + c + \text{Restbruch}$.
• Asymptote: $y = mx + c$.

Achtung: Den Restbruch weglassen, nicht addieren.