Lernzettel

Vektoren im Raum

• Vektorkette und Parallelogrammregel gelten weiter.
• Linearkombination: $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

Achtung: Im Raum gibt es drei Koordinaten.

Basis und Koordinatensystem

• Basis: drei nicht komplanare Vektoren.
• $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A|y_B - y_A|z_B - z_A)$.

Achtung: Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren bilden nicht immer eine Basis.

Im kartesischen Koordinatensystem

• $\vec{u} \circ \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
• $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• $\overline{AB} = |\overrightarrow{AB}|$.

Achtung: Wurzel und dritte Koordinate nicht vergessen.

Skalarprodukt

• $\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$.
• Orthogonal $\iff \vec{u} \circ \vec{v} = 0$.
• $\vec{u} \circ (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \circ \vec{v} + b\,\vec{u} \circ \vec{w}$.

Achtung: Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.

Vektorprodukt

• $\vec{u} \times \vec{v}$ steht senkrecht auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$.
• $|\vec{u} \times \vec{v}|$: Fläche des Parallelogramms.
• Dreieck: die Hälfte.

Achtung: Das Vektorprodukt ist ein Vektor, das Skalarprodukt eine Zahl.