Lernzettel

Parameterform einer Geraden

• $x = x_A + at$, $y = y_A + bt$, $z = z_A + ct$.
• Konstanten: ein Aufpunkt. Koeffizienten von $t$: ein Richtungsvektor.

Achtung: Bei der Punktprobe muss dasselbe $t$ alle drei Gleichungen erfüllen.

Lagebeziehungen

• Zwei Geraden: schneidend, parallel oder windschief.
• Gerade und Ebene: schneidend oder parallel.
• Zwei Ebenen: schneiden sich in einer Geraden oder sind parallel.

Achtung: Im Raum heißt „nicht parallel“ nicht „schneidend“.

Koordinatenform einer Ebene

• Normalenvektor $\vec{n} = (a|b|c)$: $ax + by + cz + d = 0$.
• $d$ bestimmt man mit einem Punkt der Ebene.

Achtung: $d$ nicht vergessen, sonst ginge die Ebene durch den Ursprung.

Normalenvektor

• $\vec{n}$ Normalenvektor von $E$: senkrecht auf zwei nicht parallelen Vektoren von $E$.
• Ebenen senkrecht: Normalenvektoren orthogonal.
• Ebenen parallel: Normalenvektoren parallel.

Achtung: Ein Normalenvektor ist kein Richtungsvektor der Ebene.

Schnittpunkt und Lotfußpunkt

• Gerade und Ebene: einsetzen, nach $t$ auflösen, Punkt berechnen.
• Lotfußpunkt von $M$ auf $E$: Die Lotgerade durch $M$ mit Richtung $\vec{n}$ schneidet $E$ in $F$.

Achtung: Der Abstand von $M$ zu $E$ ist $MF$, mit dem Lotfußpunkt $F$.