Fiche de révision

Limites en l'infini

• On factorise par le terme de plus haut degré.
• Degré du haut plus petit : 0. Égaux : quotient des coefficients dominants. Plus grand : $\pm\infty$.
• Une limite finie $\ell$ donne l'asymptote $y = \ell$.

Attention : ce ne sont pas les constantes qui décident de la limite en l'infini.

Limites infinies

• Dénominateur → 0, numérateur non nul : $\pm\infty$, asymptote verticale.
• On teste une valeur juste à côté de $a$ pour le signe.

Attention : à gauche et à droite de l'asymptote, les signes peuvent différer.

Continuité en $a$

1. $f(a)$ existe.
2. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe.
3. Elles sont égales.

Attention : que la limite existe ne suffit pas, $f(a)$ doit lui être égale.

Théorème des valeurs intermédiaires

1. Vérifier que $f$ est continue sur $[a ; b]$.
2. Comparer $f(a)$ et $f(b)$ à $k$ (souvent 0).
3. Conclure à l'existence d'une solution ; à son unicité si $f$ est strictement monotone.

Attention : sans continuité, pas de conclusion.

Réciproque

• $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$.
• Symétrie par rapport à $y = x$.

Attention : $f^{-1}$ n'est pas $\dfrac{1}{f}$.

Logarithme népérien

• $\ln$ est défini sur $]0 ; +\infty[$.
• $\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a$ (avec $a > 0$).
• $\ln 1 = 0$ et $\ln \mathrm{e} = 1$.

Attention : $\ln$ d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

Propriétés de ln ($a, b > 0$)

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
• $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$.
• $\ln(a^n) = n\ln a$.

Attention : il n'y a pas de formule pour $\ln(a + b)$.

Fonction ln

• $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
• Strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.
• Limites : $-\infty$ en 0, $+\infty$ en $+\infty$.

Attention : $\ln$ tend vers $+\infty$ très lentement, mais il y tend.

Équations et inéquations

1. Écrire la condition d'existence.
2. Résoudre en utilisant la croissance de $\ln$ ou de $\exp$.
3. Garder les solutions qui respectent la condition.

Attention : une solution de l'équation transformée n'est pas toujours une solution de départ.

Croissance comparée

• $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ en $+\infty$.
• $x^n\ln x \to 0$ en 0.

Attention : en cas de forme indéterminée, c'est la puissance de $x$ qui gagne sur $\ln x$.

Dérivée d'une composée

$(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ : dérivée de l'extérieur (intérieur gardé) fois dérivée de l'intérieur.

Attention : ne pas oublier le facteur $u'(x)$.