Fiche de révision

Dérivée d'une composée

$(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ : dérivée de l'extérieur (intérieur gardé) fois dérivée de l'intérieur.

Attention : ne pas oublier le facteur $u'(x)$.

Dérivée seconde

• $f'' \geq 0$ : $f'$ est croissante. $f'' \leq 0$ : $f'$ est décroissante.
• L'accélération est la dérivée de la vitesse.

Attention : $f'$ dit si la courbe monte ou descend ; $f''$ dit comment elle se courbe.

Convexité

• Convexe : courbe sous ses sécantes, au-dessus de ses tangentes, $f'' \geq 0$.
• Concave : courbe au-dessus de ses sécantes, sous ses tangentes, $f'' \leq 0$.

Attention : le sens de variation ne dit rien de la convexité.

Point d'inflexion

• La courbe y traverse sa tangente, la convexité change.
• $f''$ s'annule en changeant de signe.

Attention : pour $x^4$, $f''(0) = 0$ mais il n'y a pas d'inflexion.

Inégalités de convexité

• Convexe : $f(x) \geq$ tangente.
• Concave : $f(x) \leq$ tangente.
• À connaître : $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ et $\ln x \leq x - 1$.

Attention : vérifie d'abord le signe de $f''$.

Étude de fonction

1. $f'(x)$, factorisée.
2. Signe de $f'$.
3. Limites.
4. Tableau de variations.

Attention : $\mathrm{e}^{u}$ est toujours positif, il ne change pas le signe.