Fiche de révision

Intégrale

• Aire algébrique : sous l'axe, elle est négative.
• Bornes échangées : le signe change. Intervalles voisins : on additionne (Chasles).
• $\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$.

Attention : une constante s'intègre sur toute la longueur.

Fonction intégrale

• $F_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
• $F_a$ croît là où $f > 0$ et décroît là où $f < 0$.

Attention : la dérivée redonne $f$, pas une primitive de $f$.

Calcul d'une intégrale

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$, avec $F' = f$.

Attention : borne du haut moins borne du bas ; vérifie les signes de la primitive.

Valeur moyenne

$\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.

Attention : on divise par la longueur ; on ne fait pas la moyenne des valeurs aux extrémités.

Aire entre deux courbes

1. Chercher les points d'intersection.
2. Voir quelle courbe est au-dessus.
3. Intégrer « haut moins bas ».

Attention : un résultat négatif signifie que l'ordre est inversé.

Inégalités et intégrales ($a \leq b$)

• $f \leq g$ donne $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$.
• $m \leq f \leq M$ donne $m(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f \leq M(b - a)$.

Attention : ne pas oublier la longueur $b - a$.

Intégration par parties

$\displaystyle\int_a^b uv' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v$.

Attention : au signe moins, et aux signes dans la nouvelle intégrale.