Fiche de révision

Limites en l'infini

• On factorise par le terme de plus haut degré.
• Degré du haut plus petit : 0. Égaux : quotient des coefficients dominants. Plus grand : $\pm\infty$.
• Une limite finie $\ell$ donne l'asymptote $y = \ell$.

Attention : ce ne sont pas les constantes qui décident de la limite en l'infini.

Limites infinies

• Dénominateur → 0, numérateur non nul : $\pm\infty$, asymptote verticale.
• On teste une valeur juste à côté de $a$ pour le signe.

Attention : à gauche et à droite de l'asymptote, les signes peuvent différer.

Formes indéterminées

• $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$ : on ne conclut pas directement.
• On factorise par le terme prépondérant.

Attention : ne jamais écrire $\infty - \infty = 0$.

Croissances comparées

• $\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} \to +\infty$ en $+\infty$.
• $x^n\mathrm{e}^x \to 0$ en $-\infty$.

Attention : quel que soit l'exposant, l'exponentielle gagne.

Comparer pour trouver une limite

• Gendarmes : deux bornes de même limite.
• $f \geq g$ et $g \to +\infty$ : $f \to +\infty$.

Attention : majorer par une fonction qui tend vers $+\infty$ ne prouve rien.