Lernzettel

Exponentielle Änderung: bei jedem Schritt derselbe Faktor

• Anfangswert $a$, Faktor $b$ pro Schritt: nach $n$ Schritten $a \cdot b^n$.
• Zuwachs $p\,\%$: Faktor $1 + \frac{p}{100}$. Abnahme $p\,\%$: Faktor $1 - \frac{p}{100}$.

Achtung: Bei jedem Schritt denselben Betrag addieren ist linear, nicht exponentiell.

Linear oder exponentiell?

Gleiche Differenzen: linear. Gleiche Faktoren: exponentiell.

Achtung: Exponentielles Wachstum gewinnt am Ende.

Asymptoten nach Verschiebungen

• $y = a \cdot b^{x} + k$: waagrechte Asymptote $y = k$.
• $y = \log_b(x - h) + k$: senkrechte Asymptote $x = h$, Definitionsmenge $x > h$.

Logarithmen sind Exponenten

• $\log_b x = y$ bedeutet $b^y = x$.
• $\log x$ bedeutet $\log_{10} x$.
• Die Lösung von $b^x = c$ ist $x = \log_b c$.

Achtung: $\log_b x$ ist nie $x : b$.

Rechenregeln für Logarithmen ($M, N > 0$)

• Produkt: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$.
• Quotient: $\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N$.
• Potenz: $\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M$.

Achtung: Für $\log_b(M + N)$ gibt es keine Regel.

$a \cdot b^x = c$ lösen

1. Potenz freistellen: $b^x = \dfrac{c}{a}$.
2. Logarithmieren: $x \ln b = \ln \dfrac{c}{a}$.
3. Teilen: $x = \dfrac{\ln(c/a)}{\ln b}$.

Achtung: $a$ nie in die Basis hineinmultiplizieren.

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

• Halbwertszeit $h$: $A_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{h}}$. Verdopplungszeit $d$: $P_0 \cdot 2^{\frac{t}{d}}$.
• $\frac{t}{h}$ = Anzahl der Halbwertszeiten.

Achtung: $n$ Halbwertszeiten teilen durch $2^n$, nicht durch $2n$.