Lernzettel

Mittlere Änderungsrate

• Auf $[a; b]$: $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, Änderung von $f$ durch Änderung von $x$.
• Steigend: Der Graph steigt von links nach rechts.
• Monotonieintervalle mit $x$-Werten angeben.

Achtung: Änderung von $f(x)$ oben, Änderung von $x$ unten.

Ableitung an einer Stelle

• $f(a + h) - f(a)$ aufstellen und vereinfachen.
• Durch $h$ teilen, dann $h$ gegen 0 gehen lassen.

Achtung: $f'(a)$ ist eine Steigung, nicht der Funktionswert $f(a)$.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

• Differenzierbar $\Rightarrow$ stetig; die Umkehrung ist falsch.
• Keine Ableitung: Knick, senkrechte Tangente, Lücke oder Sprung.

Achtung: Ein Graph ohne Lücke hat nicht immer eine Tangente.

Tangente

• Punkt $(a|f(a))$, Steigung $f'(a)$.
• $y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)$.

Achtung: $y = f'(a) \cdot x$ verfehlt meist den Punkt.

Ableitungsfunktion

• $f'(x)$ ist die Steigung der Tangente bei $x$.
• $f$ steigt: $f' \geq 0$. $f$ fällt: $f' \leq 0$.

Achtung: $f' = 0$ (waagrechte Tangente) ist nicht $f = 0$ (auf der Achse).

Ableitungsregeln

• $(x^n)' = nx^{n - 1}$; Wurzeln und Brüche zuerst als Potenzen schreiben.
• Konstante Faktoren bleiben stehen; Summen werden summandenweise abgeleitet.

Achtung: Bei negativem Exponenten ist $-2 - 1 = -3$.

Eine Ableitung deuten

• Einheit: Ausgabeeinheit pro Eingabeeinheit.
• $f'(a) = r$: Bei $x = a$ ändert sich $f$ um etwa $r$ pro zusätzlicher Einheit von $x$.

Achtung: $f'(a)$ ist eine momentane Rate, kein Funktionswert und keine Gesamtänderung.