Lernzettel

Funktionenklassen

Basis oder Exponent, Nenner, Logarithmus, periodisch: Jede Klasse hat ihr Kennzeichen.

Achtung: x im Exponenten bedeutet exponentiell, nicht ganzrational.

Abschnittsweise definierte Funktionen

1. Den Abschnitt suchen, dessen Bedingung die Eingabe erfüllt.
2. Den Term dieses Abschnitts verwenden.
3. $|x| = x$ für $x \geq 0$ und $-x$ für $x < 0$.

Achtung: An einer Grenze $<$ und $\geq$ genau lesen.

Symmetrie

• Achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$.
• Punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$.

Achtung: Viele Graphen haben keine dieser Symmetrien.

Verschieben und Spiegeln

• $f(x - h)$: um $h$ nach rechts. $f(x) + k$: um $k$ nach oben.
• $-f(x)$: Spiegelung an der $x$-Achse. $f(-x)$: Spiegelung an der $y$-Achse.
• Innerhalb von $f(\dots)$ wirkt auf $x$, außerhalb auf $y$.

Achtung: $f(x + 3)$ verschiebt den Graphen nach links.

Strecken und Symmetrie

• $a \cdot f(x)$: Streckung in $y$-Richtung mit $a$. $f(bx)$: Stauchung in $x$-Richtung.
• Achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$.
• Punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$.

Achtung: $f(-x)$ ausrechnen; die Vorzeichen der Koeffizienten entscheiden nicht.

Grenzwerte im Unendlichen

• Die höchste Potenz ausklammern.
• Zählergrad kleiner: 0. Gleich: Quotient der Leitkoeffizienten. Größer: $\pm\infty$.
• Ein endlicher Grenzwert $a$ liefert die Asymptote $y = a$.

Achtung: Für $x \to \infty$ entscheiden nicht die Konstanten.

Einseitige Grenzwerte

• $x \to a^-$: von links; $x \to a^+$: von rechts.
• Der Grenzwert existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen.

Achtung: Eine Seite allein ist noch nicht der Grenzwert.

Stetigkeit an der Stelle $a$

1. $f(a)$ existiert.
2. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existiert.
3. Beide sind gleich.

Achtung: Dass der Grenzwert existiert, reicht nicht; $f(a)$ muss gleich sein.