Lernzettel

Monotonie

• $f' \geq 0$: $f$ steigt. $f' \leq 0$: $f$ fällt.
• Man fasst es in einer Monotonietabelle zusammen.

Achtung: Vorzeichen von $f'$ und Vorzeichen von $f$ nicht verwechseln.

Vorzeichenwechselkriterium

1. Nullstellen von $f'$ bestimmen.
2. Vorzeichentabelle von $f'$.
3. $+ \to -$: Maximum; $- \to +$: Minimum; kein Wechsel: keins von beiden.

Achtung: $f'(c) = 0$ allein ergibt noch kein Extremum.

Zweite Ableitung

• $f'' \geq 0$: $f'$ steigt, linksgekrümmt. $f'' \leq 0$: $f'$ fällt, rechtsgekrümmt.
• Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit.

Achtung: $f'$ sagt, ob der Graph steigt oder fällt; $f''$ sagt, wie er gekrümmt ist.

Wendepunkt

• Der Graph durchsetzt dort seine Tangente, die Krümmung wechselt.
• $f''$ wird null mit Vorzeichenwechsel.

Achtung: Bei $x^4$ ist $f''(0) = 0$, aber es gibt keinen Wendepunkt.

Kriterium mit der zweiten Ableitung

• $f' = 0$, $f'' > 0$: Minimum. $f' = 0$, $f'' < 0$: Maximum. $f'' = 0$: keine Aussage.
• Wendepunkt: $f''$ wechselt das Vorzeichen.

Achtung: $f''(c) = 0$ reicht für einen Wendepunkt nicht.

Kurvendiskussion

1. $f'(x)$, faktorisiert.
2. Vorzeichen von $f'$.
3. Grenzwerte.
4. Monotonietabelle.

Achtung: $\mathrm{e}^{u}$ ist immer positiv und ändert das Vorzeichen nicht.

Newton-Verfahren

• $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
• Geometrisch: Nullstelle der Tangente.
• Versagt bei $f'(x_n) = 0$.

Achtung: Den Bruch abziehen; $f$ oben, $f'$ unten.