Lernzettel

Stammfunktionen

• $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$; $\cos \to \sin$; $\sin \to -\cos$.
• Ein gegebener Funktionswert legt $C$ fest.

Achtung: Mach immer die Probe durch Ableiten.

Produktregel

$(fg)' = f'g + fg'$: einen Faktor ableiten, den anderen stehen lassen, dann umgekehrt.

Achtung: $(fg)' \neq f'g'$.

Kettenregel

$\big(v(u(x))\big)' = v'(u(x)) \cdot u'(x)$: äußere Ableitung (innere Funktion stehen lassen) mal innere Ableitung.

Achtung: Vergiss den Faktor $u'(x)$ nicht.

Die Eulersche Zahl $\mathrm{e}$

• $\mathrm{e} \approx 2{,}718$, der Grenzwert von $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$.
• Stetiges Wachstum mit der Rate $r$: $A(t) = A_0 \cdot \mathrm{e}^{rt}$.
• In $a \cdot \mathrm{e}^{kt}$ ist der Faktor pro Einheit von $t$ gleich $\mathrm{e}^{k}$.

Achtung: „stetig mit r“ ist nicht „einmal pro Jahr mit 1 + r“.

Exponentialfunktion

• $\exp' = \exp$, $\exp(0) = 1$.
• $\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^y$.

Achtung: $\mathrm{e}^{x + y}$ ist nicht $\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^y$.

Exponentialfunktionen

• $(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$.
• $(b^x)' = b^x \ln b$.

Achtung: $x^n$ (variable Basis) und $b^x$ (variabler Exponent) haben verschiedene Regeln.

Ableitungen von sin und cos

• $\sin' = \cos$.
• $\cos' = -\sin$.

Achtung: Das Minuszeichen gehört zur Ableitung des Kosinus; die Regeln gelten für $x$ im Bogenmaß.