Lernzettel

Quotientenregel

$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$: „Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten, durch unten zum Quadrat“.

Achtung: Die Reihenfolge im Zähler zählt.

Ableitungsregeln

• $(uv)' = u'v + uv'$.
• $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Achtung: Niemals $(uv)' = u'v'$.

Natürlicher Logarithmus

• $\ln$ ist auf $]0; +\infty[$ definiert.
• $\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a$ (mit $a > 0$).
• $\ln 1 = 0$ und $\ln \mathrm{e} = 1$.

Achtung: Den Logarithmus einer negativen Zahl oder von 0 gibt es nicht.

Rechenregeln für ln ($a, b > 0$)

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
• $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$.
• $\ln(a^n) = n\ln a$.

Achtung: Für $\ln(a + b)$ gibt es keine Regel.

Gleichungen und Ungleichungen

1. Die Definitionsmenge angeben.
2. Mit der Monotonie von $\ln$ oder $\exp$ lösen.
3. Nur Lösungen aus der Definitionsmenge behalten.

Achtung: Eine Lösung der umgeformten Gleichung ist nicht immer eine Lösung der Ausgangsgleichung.

Die Funktion ln

• $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ und $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
• Streng monoton steigend auf $]0; +\infty[$.
• Grenzwerte: $-\infty$ bei 0, $+\infty$ für $x \to +\infty$.

Achtung: $\ln$ wächst sehr langsam gegen $+\infty$, aber es wächst unbegrenzt.

Umkehrfunktionen

1. $y = f(x)$ schreiben.
2. Nach $x$ auflösen; die letzte Rechenoperation zuerst rückgängig machen.
3. Umbenennen: $f^{-1}(x)$. Probe: $f(f^{-1}(x)) = x$.

Achtung: $f^{-1}(x)$ ist nicht $\dfrac{1}{f(x)}$.