Lernzettel

Bogenmaß

• $180°$ entspricht $\pi$.
• $x$ und $x + 2\pi$: derselbe Punkt.

Achtung: Den Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) stellen.

Bogenmaß

• $180^\circ$ entspricht $\pi$.
• Grad → Bogenmaß: $\cdot \dfrac{\pi}{180}$. Bogenmaß → Grad: $\cdot \dfrac{180}{\pi}$.
• Bogenlänge: $b = r \cdot x$, $x$ im Bogenmaß.

Achtung: Nie Grad in $b = r \cdot x$ einsetzen.

Der Einheitskreis

• Der Punkt zum Winkel $\alpha$ ist $(\cos\alpha|\sin\alpha)$.
• $\dfrac{\pi}{6}$: $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\middle|\dfrac{1}{2}\right)$; $\dfrac{\pi}{4}$: $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$; $\dfrac{\pi}{3}$: $\left(\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Achtung: Kosinus ist $x$, Sinus ist $y$.

Kosinus und Sinus

• $P(x) = (\cos x|\sin x)$.
• $(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$.

Achtung: Den Punkt immer am Kreis einzeichnen.

Bezugswinkel

1. Den Quadranten bestimmen.
2. Bezugswinkel: spitzer Winkel zur $x$-Achse ($180^\circ - \alpha$, $\alpha - 180^\circ$ oder $360^\circ - \alpha$).
3. Wert des Bezugswinkels mit dem Vorzeichen des Quadranten.

Achtung: Der Kosinus ist links negativ (II, III), der Sinus unten (III, IV).

Sinus und Kosinus

• Periode $2\pi$.
• Kosinus achsensymmetrisch, Sinus punktsymmetrisch.
• Werte zwischen $-1$ und $1$.

Achtung: Symmetrie betrifft $-x$, Periodizität betrifft $x + 2\pi$.

Sinuskurven $y = a\sin(bx) + d$

• Amplitude $|a|$, Mittellinie $y = d$.
• Periode $\dfrac{2\pi}{b}$.
• Maximum $d + |a|$, Minimum $d - |a|$.

Achtung: Ein größeres $b$ bedeutet eine kürzere Periode.

Phasenverschiebung und Modelle

• $a\sin\big(b(x - c)\big) + d$: um $c$ nach rechts.
• $\sin(bx - e)$: Verschiebung $\dfrac{e}{b}$, nach dem Ausklammern von $b$.
• Modell: $a$ = halbe Schwankungsbreite, $d$ = Mittelwert, $b = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}$.

Achtung: Erst $b$ ausklammern, dann die Verschiebung ablesen.