Lernzettel

Quadratische Funktionen

1. Scheitel bei $x = -\dfrac{b}{2a}$.
2. Seine Höhe $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$ ist das Minimum ($a > 0$) oder Maximum ($a < 0$).
3. Scheitelform: $a(x - d)^2 + e$, Scheitel $S(d|e)$.

Achtung: Das konstante Glied $c$ ist $f(0)$, nicht der Extremwert.

Scheitelform

• $y = a(x - d)^2 + e$: Scheitel $S(d|e)$.

Achtung: $(x + h)$ legt den Scheitel nach $-h$.

Quadratisches Ergänzen

$(b/2)^2$ auf beiden Seiten addieren, dann Wurzel ziehen.

Achtung: Halbieren, dann quadrieren; und auf beiden Seiten.

Diskriminante

• $D = b^2 - 4ac$ bestimmt die Anzahl der Lösungen.
• $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Achtung: $2a$ teilt den ganzen Zähler.

Satz vom Nullprodukt

• Produkt null: jeden Faktor null setzen.
• Die andere Seite muss 0 sein.

Achtung: Nie durch $x$ teilen: Du verlierst $x = 0$.

Allgemeine Form und Nullstellenform

Die Nullstellenform liefert die Nullstellen, die allgemeine Form den y-Achsenabschnitt.

Achtung: Der Faktor $x + 5$ gehört zur Nullstelle $-5$.

Funktionsterm aus Punkten

• Jeder Punkt: eine Gleichung.
• $(0|c)$ liefert sofort $c$.
• Scheitel bekannt: $a(x - d)^2 + e$ und ein Punkt.

Achtung: x in den Term, y auf die andere Seite.

Bruchgleichungen

Nenner beseitigen → lösen → in der ursprünglichen Gleichung prüfen.

Achtung: Werte, die einen Nenner 0 machen, entfallen.

Modellieren mit quadratischen Gleichungen

Übersetzen, lösen, dann die Lösungen behalten, die zur Situation passen.

Achtung: Eine negative Länge oder der Startzeitpunkt ist nicht die Antwort.