Lernzettel

Bestimmtes Integral

• Flächenbilanz: Unterhalb der x-Achse zählt die Fläche negativ.
• Vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen. Benachbarte Intervalle werden addiert.
• $\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$.

Achtung: Eine Konstante wird über die ganze Intervalllänge integriert.

Integralfunktion

• $I_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $I_a(a) = 0$.
• $I_a$ steigt, wo $f > 0$ ist, und fällt, wo $f < 0$ ist.

Achtung: Die Ableitung liefert $f$, nicht eine Stammfunktion von $f$.

Integral berechnen

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$, mit $F' = f$.

Achtung: obere Grenze minus untere Grenze; prüfe die Vorzeichen der Stammfunktion.

Verkettete Funktionen integrieren

• $u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$.
• Fehlt ein konstanter Faktor, gleicht man ihn aus.

Achtung: Ein Faktor $x$ lässt sich nicht ausgleichen, nur ein konstanter Faktor.

Nützliche Muster

• $\dfrac{g'}{g} \to \ln|g|$.
• $e^{kx} \to \dfrac{e^{kx}}{k}$.
• $\tan x \to -\ln|\cos x|$.

Achtung: das Minuszeichen aus $du$.

Fläche zwischen zwei Graphen

1. Schnittpunkte bestimmen.
2. Feststellen, welcher Graph oben liegt.
3. „Oben minus unten“ integrieren.

Achtung: Ein negatives Ergebnis heißt, dass die Reihenfolge vertauscht ist.

Uneigentliche Integrale

1. $\infty$ durch $b$ ersetzen.
2. Integrieren.
3. $\lim_{b \to \infty}$ bilden: Eine Zahl heißt Konvergenz.

Achtung: $f \to 0$ garantiert keine Konvergenz.

Integral als Gesamtänderung

$F(b) = F(a) + \displaystyle\int_a^b F'(t)\,dt$: Anfangsbestand + Gesamtänderung.

Achtung: Eine momentane Rate ist kein Bestand.

Rotationskörper

$V = \pi\displaystyle\int_a^b (\text{Radius})^2\,dx$.

Achtung: Radius quadrieren und $\pi$ nicht vergessen.